Es biju iedomīgs bērns, kurš uzauga par literatūru un izturējās pret matemātiku un zinātni tā, it kā viņi varētu noķert mēri. Tāpēc ir diezgan dīvaini, ka rezultātā es kļuvu par cilvēku, kurš katru dienu nodarbojas ar trīskāršiem integrāļiem, Furjē transformācijām un matemātikas pērli, Eulera vienādojumu. Ir grūti noticēt, ka no cilvēka ar burtiski iedzimtu fobiju pret matemātiku es pārvērtos par inženierzinātņu profesoru.
Kādu dienu viens no maniem studentiem man jautāja, kā es to darīju: kā es mainīju smadzenes. Es gribēju atbildēt: "Sasodīts, tas bija ārkārtīgi grūti!" Galu galā es nevarēju nodarboties ar matemātiku un dabaszinātnēm pamatskolā, vidusskolā un vidusskolā. Patiesībā es sāku apmeklēt matemātikas stundas tikai pēc tam, kad mani atlaida no armijas, kad man bija 26 gadi. Ja būtu pieaugušo smadzeņu elastības potenciāla piemērs, es kļūtu par 1. modeli.
Studējot matemātiku un dabaszinātnes kā pieaugušo, man pavērās durvis uz daudzu iespēju pasauli - inženierzinātnēm. Pieaugušā vecumā grūti iegūta, smadzeņu izmaiņas man ļāva no pirmavotiem apskatīt neiroplastiskumu, kas ir pieaugušo izglītības pamatā. Par laimi, sagatavošanās doktora disertācijai sistēmu inženierijā, saistot milzīgu priekšstatu par dažādām STEM disciplīnām (zinātne, tehnoloģija, inženierzinātnes, matemātika), un pēc tam maniem turpmākajiem pētījumiem un darbiem, kuru centrā bija cilvēka domāšanas struktūra, man palīdzēja realizēt pēdējo atklājumi neirozinātnēs un kognitīvajā psiholoģijā, kas saistīti ar mācību procesu.
Kopš es ieguvu doktora grādu, manām rokām ir izgājuši tūkstošiem studentu, skolēni pamatskolā un vidusskolā uzskatīja, ka svētais matemātikas izpratnes talismans ir aktīva diskusija. Tiek uzskatīts, ka, ja jūs varat citiem izskaidrot iemācīto, piemēram, uzzīmējot attēlu, tad jūs to saprotat.
Japāna ir kļuvusi par apbrīnojamu un atdarinātu piemēru šīm aktīvās mācīšanās metodēm. Tomēr par šī jēdziena negatīvo pusi bieži nerunā: Japāna kļuva arī par Kumona matemātikas mācīšanas metodes dzimteni, kuras pamatā ir iegaumēšana, atkārtošana, saspiešana un darbs pie tā, kā bērns apgūst materiālu. Šo intensīvo ārpusskolas programmu (un citas līdzīgas) Japānas un visas pasaules vecāki ar nepacietību ir saņēmuši ar nepacietību, kuri papildina savu bērnu interaktīvo izglītību ar lielāku praksi, atkārtošanu un, jā, izsmalcinātu piepildīšanu, lai dotu viņiem brīvību apgūt mācību priekšmetu.
Amerikas Savienotajās Valstīs uzsvars uz izpratni dažreiz aizstāj citu vecāku metodi, ko izmanto (un izmanto) zinātnieki: lai studētu matemātiku un zinātni, jums jāstrādā ar dabisko smadzeņu procesu.
Pēdējais matemātikas izglītības reformu vilnis attiecas uz obligāto skolas programmu: tas ir mēģinājums visā Amerikā noteikt stingrus, vienotus standartus, lai gan kritiķi norāda, ka šie standarti neiztur salīdzinājumu ar valstīm, kuras darbojas vislabāk. Vismaz virspusēji standarti sniedz saprātīgu perspektīvu. Viņi pieņem, ka matemātikā skolēniem vajadzētu būt vienādām konceptuālām zināšanām, prasmīgai problēmu risināšanas prasmei un spējai tās pielietot.
Nozveja, protams, slēpjas lietu veikšanā. Pašreizējā izglītības vidē iegaumēšana un atkārtošana STEM disciplīnās (pret valodas vai mūzikas studijām) bieži tiek uzskatīta par pazemojošu laika izšķiešanu gan studentu, gan skolotāju starpā. Daudziem skolotājiem jau sen ir mācīts, ka konceptuālās zināšanas ir galvenās STEM disciplīnās. Patiešām, skolotājiem ir vieglāk iesaistīt studentus diskusijā par matemātikas tēmu (un, ja tas tiek izdarīts pareizi, tas uzlabo izpratni), nekā ir garlaicīgi novērtēt paveikto mājas darbu. Tas nozīmē, ka prasmju brīvībai un spējai tās pielietot ir jāattīstās vienādi ar konceptuālajām zināšanām, un tas bieži nenotiek. Konceptuālo zināšanu izplatīšana valda visaugstāk, it īpaši dārgo stundu laikā.
Reklāmas video:
Koncentrējoties uz izpratni, grūtības ir tādas, ka matemātikas un dabaszinību stundās skolēni bieži vien var aptvert svarīgu lietu, taču šīs zināšanas var ātri paslīdēt prom, nenodibinot tās praksē un neatkārtojoties. Vēl sliktāk skolēni bieži domā, ka kaut ko saprot, kaut arī patiesībā to nesaprot. Uzsverot sapratnes nozīmi, skolotāji var neapzināti virzīt savus skolēnus uz neveiksmi, kamēr bērni nododas zināšanu ilūzijai. Kā nesen man teica viens inženierzinātņu students (neizturot eksāmenu): “Es vienkārši nesaprotu, kā es varētu iegūt tik sliktu rezultātu. Es visu sapratu, kad jūs paskaidrojāt stundā. Mans students, iespējams, domāja, ka toreiz saprot šo tēmu, un, iespējams, saprata, bet nekad šīs zināšanas praktiski nelietoja, lai tās patiešām apgūtu. Viņam nav izveidojusies nekāda lēmuma pieņemšanas prasme vai spēja pielietot to, ko viņš domā jau sapratis.
Starp matemātikas un dabaszinātņu studijām un sporta veida apgūšanu ir interesantas attiecības. Mācoties sist ar golfa nūju, jūs pilnveidojat šo kustību, pastāvīgi atkārtojot vairākus gadus. Jūsu ķermenis zina, kā rīkoties, kad domājat tikai par to (visu bloku), nevis atceraties visus sarežģītos soļus, kas jāveic, lai trāpītu pa bumbu.
Tādā pašā veidā, kad kaut ko saprotat no matemātikas un zinātnes, jums tas nav nepārtraukti jāizskaidro sev katru reizi, kad sastopaties ar kādu tēmu. Lai saprastu, ka 5 × 5 = 25. Jums nav jāņem līdzi 25 bumbiņas, pastāvīgi izliekot piecu gabalu rindas. Kādā brīdī jūs to vienkārši zināt no galvas. Jūs atceraties domu, ka jums vienkārši jāpievieno eksponenti (nelieli skaitļi, kas uzrakstīti uz augšu), reizinot to pašu skaitli dažādās pakāpēs (104 × 105 = 109). Ja jūs bieži veicat šo procedūru, risinot daudz dažādu veidu problēmas, jūs atradīsit, ka jums ir ļoti laba izpratne gan par procedūras cēloņiem, gan par darbībām. Izpratni paplašina fakts, ka jūsu smadzenes ir izveidojušas nozīmes shēmas. Pastāvīga uzmanība pašas izpratnei faktiski ir šķērslis.
To visu par matemātiku un mācību procesu uzzināju nevis klasēs K-12, bet gan pēc savas pieredzes, būdams bērns, augot, lasot Madlēnu Langeli un Dostojevski, kuri mācījās valodu vienā no pasaules vadošajām valodu universitātēm, un pēc tam pēkšņi pārvērtās par inženierzinātņu profesoru.
Jaunībā ar valodas talantu un ar ne pietiekamu naudu, ne prasmēm es nevarēju atļauties iet uz koledžu (par koledžas aizdevumiem toreiz nebija runas). Tāpēc no vidusskolas es devos tieši armijā. Man patika mācīties svešvalodas jau vidusskolā, un armija man šķita vieta, kur cilvēkiem maksāja naudu par svešvalodu apguvi, pat ja viņi studēja prestižajā Militārajā svešvalodu institūtā, kur valodas mācīšanās pārauga zinātnē. Es izvēlējos krievu valodu, jo tā ļoti atšķīrās no angļu valodas, taču tas nebija tik grūti, ka man nācās to mācīties mūžīgi un iemācīties runāt četrgadīgā līmenī. Turklāt dzelzs priekškars vilināja ar savu noslēpumu: pēkšņi es varēšu izmantot savas krievu valodas zināšanas un paskatīties,kas slēpjas aiz tā?
Pēc dienesta armijā es sāku tulkot krieviem, kuri strādāja pie padomju traļiem Beringa jūrā. Strādāt krievu labā bija jautri un aizraujoši, turklāt migrantiem tas bija nedaudz krāšņi veidots darbs. Makšķerēšanas sezonā dodaties pie jūras, nopelnāt pienācīgu naudu, pastāvīgi piedzeraties pa ceļam, pēc tam sezonas beigās atgriežaties ostā un cerat, ka nākamgad jūs atkal sauks darbā. Cilvēkam, kurš runāja krievu valodā, nodarbinātībai bija tikai viena alternatīva - darbs Nacionālās drošības aģentūrā (mani draugi armijā man pastāvīgi ieteica šo iespēju, bet tas nebija paredzēts man).
Es sāku saprast, ka svešvalodas zināšanas pašas par sevi ir noderīgs bizness, taču ar ierobežotu potenciālu un iespēju skaitu. Neviens nenogrieza manu telefonu, nevienam nebija vajadzīgas manas zināšanas par izteikumiem krievu valodā. Ja vien es negribētu pierast pie jūras slimības un gadījuma rakstura nepietiekama uztura smalkiem traleriem Beringa jūras vidū. Visu laiku atcerējos par inženieriem, kuri mācījās Vestpointā, ar kuriem strādāju kopā armijā. Viņu matemātiskā un zinātniskā pieeja problēmu risināšanai acīmredzami bija noderīga reālajā pasaulē, daudz noderīgāka nekā manas jaunības kļūdas matemātikā man būtu ļāvušas iedomāties.
Tādējādi, būdams 26 gadus vecs, pametot armiju un meklējot jaunas iespējas, es sapratu: ja es patiešām vēlos izmēģināt kaut ko jaunu, kāpēc gan nesākt ar to, kas man varētu pavērt veselu jaunu perspektīvu pasauli? Kaut kas līdzīgs inženierzinātnēm? Tas nozīmēja, ka es mēģinātu iemācīties pavisam citu valodu - rēķināšanas valodu.
Ar sliktu izpratni pat par visvienkāršāko matemātiku mani centieni pēc armijas sākās ar atjaunojošām nodarbībām algebrā un trigonometrijā. Tas bija krietni zem nulles līmeņa lielākajai daļai koledžas studentu. Reizēm mēģinājums pārprogrammēt smadzenes man šķita smieklīgs pasākums, it īpaši, kad es paskatījos uz savu jaunāko klasesbiedru jaunajām sejām un sapratu, ka viņi jau ir pametuši savas grūtās klases matemātikā un dabaszinātnēs, un es nolēmu doties taisni, lai viņus satiktu. Bet manā gadījumā pēc savas pieredzes krievu valodas apguvē pieaugušā vecumā man bija aizdomas (vai vienkārši cerēju), ka svešvalodas apguves aspektos būs kaut kas tāds, ko es varētu izmantot matemātikas un dabaszinību apguvē.
Mācoties krievu valodu, es koncentrējos ne tikai uz valodas izpratni, bet arī uz tās brīvu pārvaldību. Brīvai visas sistēmas (šajā gadījumā valodas) lietošanai nepieciešama cieša iepazīšanās, kas tiek panākta tikai atkārtotas un daudzveidīgas mijiedarbības ceļā ar tās elementiem. Kur mani klasesbiedri bija apmierināti ar vienkāršu izpratni par runāto vai rakstīto krievu valodu, es centos izveidot iekšēju, dziļu saikni ar valodas vārdiem un struktūru. Es nebiju apmierināts ar to, ka tikai zināju vārda "saprast" nozīmi. Darbības vārdu izmantoju praksē: pastāvīgi konjugēju to dažādos laikos, lietoju teikumos un, visbeidzot, sapratu ne tikai to, kad jāizmanto šī darbības vārda forma, bet arī tad, kad to nedarīt. Es trenējos ar izaicinājumu ātri atcerēties visus šos aspektus un variācijas. Ja jūs neprotat valodu brīvi un kāds ātri jums pļāpā, kā tas notiek normālā sarunā (kas vienmēr skan šausmīgi ātri, kad mācāties svešvalodu), jums nav ne mazākās nojausmas, par ko jūs runājat. patiesībā viņi saka, kaut arī tehniski jūs saprotat katru vārdu atsevišķi un frāžu struktūru. Protams, jūs pats nevarat runāt pietiekami ātri, lai dzimtā valoda varētu jums patīkami klausīties.
Izmantojot šo pieeju (koncentrējoties uz tekošumu, nevis tikai izpratni), es apsteidzu visus klases dalībniekus. Tad es to vēl neapzinājos, bet šī pieeja valodu apguvei ļāva man intuitīvi izprast mācīšanās pamatus un attīstīto kompetenci - bloku veidošanos.
Bloku veidošana sākotnēji tika izstrādāta Herberta Simona revolucionārajā darbā, kur viņš analizēja šahu: bloki tika uzskatīti par dažādiem dažādu šaha shēmu neironu ekvivalentiem. Pamazām neirozinātnieki saprata, ka tādi speciālisti kā šaha lielmeistari to sasniedza, saglabājot tūkstošiem zināšanu bloku par viņu kompetences jomu ilgtermiņa atmiņā. Piemēram, lielmeistari var atcerēties desmitiem tūkstošu dažādu šaha modeļu. Neatkarīgi no disciplīnas, zinātāji apziņā var pamodināt vienu vai vairākus labi sametinātus, samontētus nervu apakšprogrammu blokā, ar kuru palīdzību viņi analizē un reaģē, saskaroties ar nepieciešamību mācīties jaunas lietas. Patiesas izpratnes līmenis, spēja to izmantot jaunās situācijās parādās tikai ar šo skaidrību, zināšanu līmeni,kas var nodrošināt tikai atkārtošanu, iegaumēšanu un praksi.
Kā liecina šaha spēlētāju, ātrās palīdzības ārstu un iznīcinātāju pilotu pētījumi, vislielākā stresa brīžos ātra zemapziņas apstrāde aizstāj apzinātu situācijas analīzi, jo visi šie speciālisti dziļā līmenī izstrādā nervu apakšprogrammu sistēmu, blokus. Noteiktā brīdī apzināta "izpratne" par to, kāpēc jūs veicat šo vai citu darbību, kalpo tikai kā šķērslis un rada ne visveiksmīgākos lēmumus. Kad es intuitīvi sapratu, ka starp svešvalodas un matemātikas apguvi ir saistība, man bija taisnība. Ikdienas ilgtermiņa krievu valodas praktiskā apguve uzlādēja un nostiprināja manus neironu savienojumus, un es pamazām sāku sasaistīt tos valodas zināšanu blokus, kurus tagad varēja viegli izmantot. Organizējot mācīšanos "slāņos" (citiem vārdiem sakot,praktizējot tā, ka es ne tikai zināju, kad lietot vārdu, bet arī kad nelietot, pareizāk sakot, citu tā versiju), es faktiski izmantoju to pašu pieeju, kuru izmanto praktiķi matemātikā un dabaszinātnēs. Studējot matemātiku un inženierzinātnes pieaugušā vecumā, es sāku izmantot to pašu stratēģiju, kuru izmantoju svešvalodas apguvē. Es paskatījos uz vienlīdzību, lai ņemtu viselementārāko piemēru, uz Ņūtona otro likumu f = ma. Es mācījos saprast, ko katrs burts nozīmē: f - gravitācija - domāts spiediens, m - ķermeņa svars - uzliek manam spiedienam sava veida pretestību un a - uzmundrinošu paātrinājuma sajūtu. (Ekvivalents krievu valodas apguvē bija skaļi pateikt krievu alfabēta burtus). Es iegaumēju vienlīdzību tā, ka tā iegrima manā atmiņā,un es varētu spēlēt ar viņu. Ja m un a bija lieli skaitļi, kā tas ietekmēja f, kad tos pievienoju formulai? Ja f bija liels un a bija mazs, kā tas ietekmēja m? Kā līdztiesības daļas saderēja kopā? Spēle ar vienlīdzību bija līdzīga darbības vārdu konjugācijai. Es sāku intuitīvi saprast, ka izplūdušās vienlīdzības aprises ir kā metaforām piesātināts dzejolis, kurā slēpjas daudzi skaisti simboliski attēli. Lai gan tajā laikā es to tā nenosauktu, patiesībā, lai labi apgūtu matemātiku un dabaszinātnes, man vajadzēja lēnām, dienu pēc dienas, veidot spēcīgas neironu "bloķēšanas" rutīnas (piemēram, tās, kuras es darīju ar formulu f = ma), lai es varētu viegli izmantot informāciju no ilgtermiņa atmiņas, tāpat kā es to darīju ar krievu valodu. Ja m un a bija lieli skaitļi, kā tas ietekmēja f, kad tos pievienoju formulai? Ja f bija liels un a bija mazs, kā tas ietekmēja m? Kā līdztiesības daļas saderēja kopā? Spēle ar vienlīdzību bija līdzīga darbības vārdu konjugācijai. Es sāku intuitīvi saprast, ka izplūdušās vienlīdzības aprises ir kā metaforām piesātināts dzejolis, kurā slēpjas daudzi skaisti simboliski attēli. Lai gan tajā laikā es to tā nenosauktu, patiesībā, lai labi apgūtu matemātiku un dabaszinātnes, man vajadzēja lēnām, dienu pēc dienas, veidot spēcīgas neironu "bloķēšanas" rutīnas (piemēram, tās, kuras es darīju ar formulu f = ma), lai es varētu viegli izmantot informāciju no ilgtermiņa atmiņas, tāpat kā es to darīju ar krievu valodu. Ja m un a bija lieli skaitļi, kā tas ietekmēja f, kad tos pievienoju formulai? Ja f bija liels un a bija mazs, kā tas ietekmēja m? Kā līdztiesības daļas saderēja kopā? Spēle ar vienlīdzību bija kā darbības vārdu konjugācija. Es sāku intuitīvi saprast, ka izplūdušie vienlīdzības aprises ir kā metaforām piesātināts dzejolis, kurā slēpjas daudzi skaisti simboliski attēli. Lai gan tajā laikā es to tā nenosauktu, lai labi apgūtu matemātiku un dabaszinātnes, man lēnām, dienu pēc dienas, bija jāveido spēcīga neironu "bloķēšanas" kārtība (tāpat kā tās, ko es darīju ar formulu f = ma), lai es varētu viegli izmantot informāciju no ilgtermiņa atmiņas, tāpat kā es to darīju ar krievu valodu.kad es viņus aizstāju formulā? Ja f bija liels un a bija mazs, kā tas ietekmēja m? Kā līdztiesības daļas saderēja kopā? Spēle ar vienlīdzību bija līdzīga darbības vārdu konjugācijai. Es sāku intuitīvi saprast, ka izplūdušās vienlīdzības aprises ir kā metaforām piesātināts dzejolis, kurā slēpjas daudzi skaisti simboliski attēli. Lai gan tajā laikā es to tā nenosauktu, patiesībā, lai labi apgūtu matemātiku un dabaszinātnes, man lēnām, dienu pēc dienas, bija jāveido spēcīgas neironu "bloķēšanas" rutīnas (tāpat kā tās, ko es darīju ar formulu f = ma), lai es varētu viegli izmantot informāciju no ilgtermiņa atmiņas, tāpat kā es to darīju ar krievu valodu.kad es viņus aizstāju formulā? Ja f bija liels un a bija mazs, kā tas ietekmēja m? Kā līdztiesības daļas saderēja kopā? Spēle ar vienlīdzību bija līdzīga darbības vārdu konjugācijai. Es sāku intuitīvi saprast, ka izplūdušās vienlīdzības aprises ir kā metaforām piesātināts dzejolis, kurā slēpjas daudzi skaisti simboliski attēli. Lai gan tajā laikā es to tā nenosauktu, patiesībā, lai labi apgūtu matemātiku un dabaszinātnes, man vajadzēja lēnām, dienu pēc dienas, veidot spēcīgas neironu "bloķēšanas" rutīnas (piemēram, tās, kuras es darīju ar formulu f = ma), lai es varētu viegli izmantot informāciju no ilgtermiņa atmiņas, tāpat kā es to darīju ar krievu valodu.kā tas ietekmēja m? Kā līdztiesības daļas saderēja kopā? Spēle ar vienlīdzību bija līdzīga darbības vārdu konjugācijai. Es sāku intuitīvi saprast, ka izplūdušās vienlīdzības aprises ir kā metaforām piesātināts dzejolis, kurā slēpjas daudzi skaisti simboliski attēli. Lai gan tajā laikā es to tā nenosauktu, patiesībā, lai labi apgūtu matemātiku un dabaszinātnes, man vajadzēja lēnām, dienu pēc dienas, veidot spēcīgas neironu "bloķēšanas" rutīnas (piemēram, tās, kuras es darīju ar formulu f = ma), lai es varētu viegli izmantot informāciju no ilgtermiņa atmiņas, tāpat kā es to darīju ar krievu valodu.kā tas ietekmēja m? Kā līdztiesības daļas saderēja kopā? Spēle ar vienlīdzību bija līdzīga darbības vārdu konjugācijai. Es sāku intuitīvi saprast, ka izplūdušās vienlīdzības aprises ir kā metaforām piesātināts dzejolis, kurā slēpjas daudzi skaisti simboliski attēli. Lai gan tajā laikā es to tā nenosauktu, patiesībā, lai labi apgūtu matemātiku un dabaszinātnes, man vajadzēja lēnām, dienu pēc dienas, veidot spēcīgas neironu "bloķēšanas" rutīnas (piemēram, tās, kuras es darīju ar formulu f = ma), lai es varētu viegli izmantot informāciju no ilgtermiņa atmiņas, tāpat kā es to darīju ar krievu valodu.kurā ir daudz skaistu simbolisku attēlu. Lai gan tobrīd es to tā nenosauktu, patiesībā, lai labi apgūtu matemātiku un dabaszinātnes, man lēnām, dienu pēc dienas, bija jāveido spēcīga neironu "bloķēšanas" kārtība (tāpat kā tās, ko es darīju ar formulu f = ma), lai es varētu viegli izmantot informāciju no ilgtermiņa atmiņas, tāpat kā es to darīju ar krievu valodu.kurā ir daudz skaistu simbolisku attēlu. Lai gan tajā laikā es to tā nenosauktu, patiesībā, lai labi apgūtu matemātiku un dabaszinātnes, man vajadzēja lēnām, dienu pēc dienas, veidot spēcīgas neironu "bloķēšanas" rutīnas (piemēram, tās, kuras es darīju ar formulu f = ma), lai es varētu viegli izmantot informāciju no ilgtermiņa atmiņas, tāpat kā es to darīju ar krievu valodu.kā es to darīju ar krievu valodu.kā es to darīju ar krievu valodu.
Reizēm matemātikas un dabaszinību skolotāji man teica, ka prātā dziļi iesakņojušies informācijas bloki bija viņu panākumu absolūtais pamats. Izpratne nerada zinošas zināšanas; gluži pretēji, raitums veido izpratni. Patiesībā es uzskatu, ka patiesa izpratne par sarežģītu tēmu rodas tikai brīvas tās apguves apstākļos.
Citiem vārdiem sakot, mācot dabaszinātnes un matemātiku, ir viegli pāriet uz mācību metodēm, kur uzsvars tiek likts uz izpratni, un tiek novērsta rutīnas atkārtošana un prakse, kas ir priekšmeta raituma pamatā. Es iemācījos krievu valodu ne tikai tāpēc, ka to sapratu - galu galā izpratne nav tik grūts uzdevums, bet tas var viegli paslīdēt no jums prom. (Ko nozīmē krievu vārds “saprast”?) Es iemācījos krievu valodu, tiecoties pēc plūduma ar praksi, atkārtošanu un saspiešanu, tikai tāda veida saspiešana, kas stimulēja spēju domāt elastīgi un ātri. Es mācījos matemātiku un dabaszinības, izmantojot tieši tos pašus principus. Valoda, matemātika, dabaszinātnes, tāpat kā gandrīz visas cilvēku zināšanas, izmanto vienādus smadzeņu mehānismus.
Kad sāku jaunu dzīvi, kļūstot par elektroinženieri un pēc tam par inženierzinātņu profesoru, agrāk atstāju krievu valodu. Bet 25 gadus pēc pēdējās reizes, kad es dzēru uz padomju tralera, mēs ar ģimeni nolēmām izbraukt cauri visai Krievijai pa Transsibīrijas dzelzceļu. Neskatoties uz to, ka ar nepacietību gaidīju šo ceļojumu, par kuru jau sen biju sapņojis, es uztraucos. Gadu gaitā es gandrīz neesmu runājis vismaz vārdu krievu valodā. Ko darīt, ja es viņu pilnīgi aizmirstu? Ko man deva visi šie valodas prasmes apguves gadi?
Protams, kad mēs pirmo reizi iekāpām vilcienā, es runāju krieviski kā divus gadus vecs bērns. Es izmisīgi meklēju vārdus, pieļāvu kļūdu deklinācijā un konjugācijā, mana bijusī gandrīz perfektā izruna pārvērtās par briesmīgu akcentu. Bet pamati tika likti, un katru dienu mans krievu valoda kļuva labāka. Bet pat ar pamata līmeni es spēju tikt galā ar ikdienas uzdevumiem mūsu ceļojuma laikā. Drīz ceļveži sāka man tuvoties, lai es varētu palīdzēt tos tulkot citiem pasažieriem. Beidzot ieradāmies Maskavā un iekāpām taksometrā. Autovadītājs, kā es drīz sapratu, gatavojās mūs aplaupīt kā lipīgs cilvēks - viņš brauca tieši pretējā virzienā, caur sastrēgumiem, gaidot, ka ārzemnieki, kuri neko nesaprot, klusējot maksās par papildu stundu pēc likmes. Pēkšņi krievu vārdi man aizbēga,kuru es neesmu runājis gadu desmitiem. Es pat nenojautu, ka viņus pazīstu.
Kaut kur dziļi manā prātā mana tekošā valodas prasme palika un iznāca īstajā brīdī: tas ātri mūs atbrīvoja no nepatikšanām (un palīdzēja atrast citu taksometru). Raksturība ļauj izpratnei kļūt par apziņas daļu un parādās, kad jums tā nepieciešama.
Kad šodien redzu, cik ļoti mūsu valstī trūkst dabaszinātņu un matemātikas speciālistu, vēroju mūsdienu pedagoģijas tendences, pārdomājot savu ceļu, iegūtās zināšanas par mūsu smadzeņu spējām, es saprotu, ka mēs varētu sasniegt daudz vairāk. Kā vecāki un skolotāji mēs varam izmantot vienkāršas, pieejamas metodes, lai padziļinātu izpratni, padarot to noderīgu un elastīgu. Mēs varam piespiest citus cilvēkus un sevi mācīties jaunas disciplīnas, kas mums šķita pārāk grūti - matemātika, deja, fizika, valoda, ķīmija, mūzika - tādējādi paverot pilnīgi jaunas pasaules sev un citiem.
Kā es pats sapratu, visa pamatā ir fundamentālas, dziļi iesakņojušās bezmaksas matemātikas zināšanas (un ne tikai "izpratne"). Tas paver durvis daudziem interesantiem ēdieniem. Atskatoties atpakaļ, es saprotu, ka man nevajadzēja akli sekot savām tieksmēm un interesēm. Tā daļa no manis, kas “brīvi” mīlēja literatūru un valodas, bija tā pati, kas man lika tā dēļ mīlēt matemātiku un zinātni, un tā mainīja un bagātināja manu dzīvi.