Neatkarīgi no tā, vai jūs plānojat pārbaudīt, cik ātri varat piepildīt kafijas automātu, vai vienkārši skaitīt soļus uz autobusa pieturu no rīta, ir kaut kas par ikdienas dzīves monotoniju, kas liek mums mēģināt to pārvērst spēlē. Astoņpadsmitā gadsimta Prūsijas pilsētas Konigsbergas (tagad, kā jūs zināt, šī ir Kaļiņingrada) iedzīvotāji bija tādi paši kā mēs visi. Tieši spēle, kuru viņi spēlēja ar septiņiem savas pilsētas tiltiem, kādu dienu izraisīja interesi par vienu no lielākajiem matemātiķiem cilvēces vēsturē.
Konigsberga tika uzcelta Pregelas (Pregoljas) upes krastos, kas sadalīja pilsētu četrās atsevišķās apdzīvotās vietās. Cilvēki pārvietojās no viena rajona uz otru, izmantojot septiņus dažādus tiltus. Saskaņā ar leģendu iecienīta spēle svētdienas pastaigu laikā bija mēģināt šķērsot visu pilsētu, lai katru tiltu šķērsotu tikai vienu reizi. Neviens nav izdomājis, kā to izdarīt, bet tas nenozīmē, ka problēmai nav risinājuma. Viņiem vienkārši bija jāiet pie īstā eksperta, lai viņu iepazītu.
1735. gadā Dancigas (tagad Polijas pilsētas Gdaņskas) mērs, kas atrodas 120 kilometrus uz rietumiem no Konigsbergas, Kārlis Leonards Gotlijs Ehlers uzrakstīja Leonardam Eileram vēstuli, kurā lūdza palīdzību šīs problēmas risināšanā vietējā matemātikas profesora vārdā Heinrihs. Kuehn. Pat tad Eulers bija slavens un ļoti veiksmīgs matemātiķis - gada laikā pēc šīs vēstules viņš publicēja savu pirmo grāmatu, un visas dzīves laikā viņš uzrakstīja vairāk nekā 500 grāmatas un rakstus.
Tāpēc nav pārsteidzoši, ka sākumā Eulers domāja, ka šīs problēmas risināšana ir zem viņa cieņas, un atbildē rakstīja: “Tātad, jūs redzat, cienījamais kungs, šāda veida risinājumam praktiski nav sakara ar matemātiku, un es nesaprotu, kāpēc jūs nodarbojaties ar šādām lietām. lūgums matemātiķim, nevis kādam citam, jo lēmums ir pamatots tikai ar veselo saprātu un nav atkarīgs no neviena no zināmajiem matemātikas principiem."
Tomēr galu galā Ehleram un Kühnam izdevās pārliecināt Euleru, un viņš saprata, ka tas ir pilnīgi jauns matemātikas veids - "pozīciju ģeometrija", mūsdienās pazīstama kā topoloģija. Topoloģijā objekta precīzai formai vai atrašanās vietai nav nozīmes. Ir pat sens joks, ka topologs nevar pateikt atšķirību starp virtuli un kafijas tasi, jo abos priekšmetos ir tieši viens caurums. Līdz tam par šo pilnīgi jauno matemātikas jomu tika rakstīts tikai, bet neviens vēl nesaprata, kādas problēmas tā varētu atrisināt. Septiņi Konigsbergas tilti bija lielisks jaunās teorijas eksperimentāls apstiprinājums, jo problēmai nebija nepieciešami nekādi mērījumi vai precīzi aprēķini. Sarežģītu pilsētas karti var pārvērst vienkāršā un saprotamā diagrammā (diagrammā), nezaudējot svarīgu informāciju.
Kaut arī varētu rasties kārdinājums šo problēmu atrisināt, izplānojot visus iespējamos maršrutus caur pilsētu, Eulers uzreiz saprata, ka šī stratēģija prasīs pārāk ilgu laiku un nedarbosies ar citām līdzīgām problēmām (kas būtu, ja citā pilsētā būtu, teiksim, divpadsmit tilti?). Tā vietā viņš nolēma uz laiku novērst uzmanību no tiltiem un apzīmēja sauszemes teritorijas ar burtiem A, B, C un D. Tādējādi viņš tagad varētu aprakstīt braucienu pāri tiltam no zonas A uz teritoriju B kā AB un braucienu no zonas A caur teritoriju B. D kā ABD. Šeit ir svarīgi atzīmēt, ka maršruta aprakstā burtu skaits vienmēr būs par vienu vairāk nekā šķērsoto tiltu skaits. Tādējādi maršruts AB šķērso vienu tiltu, un maršruts ABD šķērso divus tiltus utt. Eulers saprata, ka, tā kā Konigsbergā ir septiņi tilti, lai tos visus šķērsotu,maršrutam jāsastāv no astoņiem burtiem, kas nozīmē, ka problēmas risināšanai būs nepieciešami tieši astoņi burti.
Tad viņš nāca klajā ar vispārīgāku noteikumu, izmantojot vēl vienkāršotāku shēmu. Ja jums būtu tikai divi sauszemes posmi, A un B, un vienu reizi šķērsotu tiltu, tad sadaļa A varētu būt tur, kur brauciens sākās vai kur tas beidzās, bet jūs A sadaļā būtu tikai vienu reizi. Ja jūs vienu reizi šķērsotu a, b un c tiltus, jūs atrastos A sadaļā tieši divas reizes. Tas noveda pie ērta noteikuma: ja jums ir vienāds tiltu skaits, kas ved uz vienu zemes gabalu, jums tas jāpievieno viens un pēc tam kopējo summu jāsadala ar diviem, lai izdomātu, cik reizes šī sadaļa būtu jāizmanto jūsu brauciena laikā. (šajā piemērā, pievienojot vienu tiltu skaitam, tas ir, 3, mēs iegūstam četrus, un, dalot četrus ar diviem, mēs iegūstam divus,tas ir, A) punktu šķērso tieši divas reizes brauciena laikā.
Reklāmas video:
Šis rezultāts ļāva Euleram atgriezties pie savas sākotnējās problēmas. Uz A sadaļu ved pieci tilti, tāpēc viņa meklētais astoņu burtu risinājums būs jāšķērso trīs reizes. B, C un D sadaļai ir divi tilti, kas ved uz tiem, tāpēc katram ir jāšķērso divreiz. Bet 3 + 2 + 2 + 2 ir 9, nevis 8, lai gan saskaņā ar nosacījumu jums jāiet cauri tikai 8 sekcijām un jāšķērso 7 tilti. Tas nozīmē, ka nav iespējams iziet cauri visai Kēnigsbergas pilsētai, izmantojot katru tiltu precīzi vienu reizi. Citiem vārdiem sakot, šajā gadījumā problēmai nav risinājuma.
Tomēr, tāpat kā jebkurš īsts matemātiķis, Eulers neapstājās. Viņš turpināja darbu un izveidoja vispārīgāku noteikumu citām pilsētām ar atšķirīgu tiltu skaitu. Ja pilsētai ir nepāra tiltu skaits, tad ir vienkāršs veids, kā uzzināt, vai varat veikt šādu braucienu vai nē: ja katra zemes gabala apzīmējuma burta notikumu skaita summa ir viena vairāk nekā tiltu skaits (kā, piemēram, astoņu burtu risinājumā, apmēram minēts iepriekš), šāds ceļojums ir iespējams. Ja summa ir lielāka par šo skaitli, tas nav iespējams.
Kas par pāra skaitu tiltu? Šajā gadījumā viss ir atkarīgs no tā, kur sākt. Ja jūs sākat no A sekcijas un ceļojat pa diviem tiltiem, A šķīdumā parādās divreiz. Ja jūs sākat no otras puses, A parādīsies tikai vienu reizi. Ja ir četri tilti, tad A parādās trīs reizes, ja šī sadaļa bija sākumpunkts, vai divreiz, ja tā nebija. Kopumā tas nozīmē, ka, ja brauciens nesākas no A sadaļas, tas ir jāšķērso divreiz vairāk nekā tiltu skaits (četri dalīti ar diviem dod divus). Ja brauciens sākas no A sadaļas, tad tam ir jāšķērso vēl vienu reizi.
Eulera risinājuma ģēnijs slēpjas pat nevis atbildē, bet gan viņa izmantotajā metodē. Tas bija viens no agrākajiem grafu teorijas izmantošanas gadījumiem, kas pazīstams arī kā tīkla teorija, mūsdienu pasaulē ļoti pieprasītā matemātikas joma, kas piepildīta ar transporta, sociālajiem un elektroniskajiem tīkliem. Kas attiecas uz Kēnigsbergu, pilsēta beidzās ar vēl vienu tiltu, kas Eilera lēmumu padarīja strīdīgu, un pēc tam Lielbritānijas spēki Otrā pasaules kara laikā iznīcināja lielāko daļu pilsētas. Mūsdienās gan pilsētai, gan upei ir jauni nosaukumi, bet vecā problēma dzīvo pilnīgi jaunā matemātikas jomā.
Igors Abramovs